CORRIGES DES EXERCICES

CORRIGES DES EXERCICES
ARITHMÉTIQUE 1 P.G. 2007/2008
H
HH
H En utilisant la définition, démontrer que : si a divise b, alors a
2
divise b
2
.
Si a divise b, alors il existe un entier q tel que b = a×q. Par suite, b
2
= a
2
×q
2
et comme q
2
est un
entier, ce ci prouve que a
2
divise b
2
.
I
II
I VRAI OU FAUX ? Si a|b et c|b alors ac|b.
C'est faux ! Pour justifier, il suffit d'exhiber un contre-exemple :
4|36 et 6|36 mais 4×6 = 24 ne divise pas 36.
J
JJ
J Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7
n
− 3
n
est divisible par 4.
On peut utiliser une identité remarquable :
• Pour n entier supérieur ou égal à 2 :
7
n
− 3
n
= (7 – 3)(7
n−1
+ 7
n−2
×3 + … + 7×3
n−2
+ 3
n−1
) = 4×(7
n−1
+ 7
n−2
×3 + … + 7×3
n−2
+ 3
n−1
)
donc 7
n
− 3
n
est divisible par 4.
• Pour n = 1 : 7
n
− 3
n
= 7 – 3 = 4 qui est bien divisible par 4.
• Pour n = 0 : 7
n
− 3
n
= 1 – 1 = 0 qui est bien divisible par 4.
Dans tous les cas, 7
n
− 3
n
est divisible par 4.
1
11
1)
))
) Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4.
Deux nombres impairs consécutifs peuvent s'écrire 2n + 1 et 2n + 3 (pensez aussi à 2n – 1 et 2n + 1)
2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4 = 4(n + 1). Puisque n + 1 est un entier, ceci prouve que la somme est
divisible par 4.
1
11
1!
!!
! Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 5n + 9 et 2n + 3, il ne peut prendre que
deux valeurs que l’on précisera.
Si un entier naturel d divise à la fois 5n + 9 et 2n + 3, alors d divise toute combinaison linéaire à
coefficients entiers de ces deux nombres, donc d divise, entre autres :
2(5n + 9) – 5(2n + 3) = 10n + 18 – 10n – 15 = 3.
3 n’a que deux diviseurs positifs : 1 et 3 donc d ne peut prendre que ces deux valeurs.
1
11
1@
@@
@ Comment choisir l’entier naturel n pour que n divise n + 8 ?
Si n divise n + 8, étant donné qu’il divise aussi n, alors il divise toute combinaison linéaire à
coefficients entiers de ces deux nombres ; entre autres n divise 1(n + 8) – 8n = 8.
Réciproquement, si n divise 8, sachant qu’il divise aussi n, alors n divise leur somme : n + 8.
Bilan : n | n + 8 ⇔ n | 8. Il y a donc quatre valeurs possibles pour n : 1, 2, 4 et 8.
1
11
1#
##
# Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise n + 2.
Si n – 4 divise n + 2, étant donné qu’il divise aussi n – 4, alors il divise la différence de ces deux
nombres : (n + 2) – (n – 4) = 6.
Réciproquement, si n – 4 divise 6, sachant qu’il divise n – 4, alors n divise la somme de ces deux
nombres : 6 + n – 4 = n + 2.
Bilan : n – 4 | n + 2 ⇔ n – 4 | 6 ⇔ n – 4 ∈ {−6 ; −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}
n – 4 | n + 2 ⇔ n ∈ {−2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10}
1
11
1$
$$
$ Quelles sont les valeurs que peut prendre un diviseur relatif commun à 5n – 3 et 2n – 3, où n
désigne un entier relatif ?
Tout diviseur d commun à 5n – 3 et 2n – 3 divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers
de ces deux nombres, donc d divise, entre autres : 2(5n – 3) – 5(2n – 3) = 10n – 6 – 10n + 15 = 9.
d ne peut donc prendre que 6 valeurs : −9, −3, −1, 1, 3 et 9.
entier

CORRIGES DES EXERCICES
ARITHMÉTIQUE 2 P.G. 2007/2008
1
11
1%
%%
% Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 2n
2
+7n + 3 est divisible par 2n + 1.
On peut déterminer deux réels a et b tels que ∀x∈R 2x
2
+7x + 3 = (2x + 1)(ax + b).
Pour tout réel x, on a : (2x + 1)(ax + b) = 2ax
2
+ 2bx + ax + b = 2ax
2
+ (2b + a)x + b.
Par identification,
22 1 1
27617 3
33
aa
a
ba b
bb
==
 =
+= ⇔ += ⇔
=
==
d’où 2n
2
+7n + 3 = (2n + 1)(n + 3).
n + 3 est un entier puisque n est entier ; cela prouve que 2n
2
+ 7n + 3 est divisible par 2n + 1.
2
22
2@
@@
@ Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, le nombre n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6.
On procède par disjonction des cas, en remarquant qu’un entier, dans la division par 6, a six restes
possibles : 0, 1, 2, 3, 4 et 5 d’où six cas :
• ou bien n = 6q,
alors n(n + 1)(n + 5) = 6q(n + 1)(n + 5) et comme q(n + 1)(n + 5) est un entier, n(n + 1)(n + 5)
est bien divisible par 6
• ou bien n = 6q + 1,
alors n(n + 1)(n + 5) = n(n + 1)(6q + 1 + 5) = n(n + 1)(6q + 6) = 6n(n + 1)(q + 1) et comme
n(n + 1)(q + 1) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est bien divisible par 6
• ou bien n = 6q + 2, alors
n(n + 1)(n + 5) = (6q + 2)(6q + 2 + 1)(n + 5) = (6q + 2)(6q + 3)(n + 5) = 6(3q + 1)(2q + 1)(n +
5) et comme (3q + 1)(2q + 1)(n + 5) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6
• ou bien n = 6q + 3, alors
n(n + 1)(n + 5) = (6q + 3)(6q + 3 + 1)(n + 5) = (6q + 2)(6q + 4)(n + 5) = 6(3q + 1)(3q + 2)(n + 5)
et comme (3q + 1)(3q + 2)(n + 5) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6
• ou bien n = 6q + 4, alors
n(n + 1)(n + 5) = (6q + 4)(n + 1)(6q + 4 + 5) = (6q + 4)(n + 1)(6q + 9) = 6(3q + 2)(n + 1)(2q + 3)
et comme (3q + 2)(n + 1)(2q + 3) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6
• ou bien n = 6q + 5, alors
n(n + 1)(n + 5) = n(6q + 5 + 1)(n + 5) = n(6q + 6)(n + 5) = 6n(q + 1)(n + 5) et comme
n(q + 1)(n + 5) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6
Bilan : dans tous les cas, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6.
2
22
2#
##
# x et y désignent des entiers naturels avec x > y.
a. Démontrer que si x
2
y − xy
2
= 6, alors xy et x − y divisent 6.
Il suffit de remarquer que x
2
y − xy
2
= 6 s’écrit aussi xy(x − y) = 6.
Puisque x – y est entier, xy divise 6 et puisque xy est entier, x – y divise 6.
b. Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x
2
y − xy
2
= 6.
x, y et x – y étant entiers naturels,
1236
()6 ou ou ou
6321
xy xy xy xy
xy x y
x
yxyxyxy
====
−= ⇔
−= −= −= −=
(6)1 (3)2 (2)3 (1)6
()6 ououou
63 21
yy yy yy yy
xy x y xy xy xy xy
+= += += +=
−= ⇔
=+ =+ =+ =+
L’égalité (y + 6)y = 1 est impossible car y > 0 donc y + 6 > 6 et ne peut donc diviser 1.
L’égalité (y + 3)y = 2 est impossible car y + 3 > 3 et ne peut donc diviser 2.
Il reste finalement :
12
()6 ou
33
yy
xy x y xx
==
−= ⇔
==

CORRIGES DES EXERCICES
ARITHMÉTIQUE 3 P.G. 2007/2008
2
22
2$
$$
$
Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, le nombre 3
n+3
– 4
4n+2
est divisible par 11.
Initialisation : La propriété 11 divise 3
n+3
− 4
4n+2
est vraie pour n = 0 car 3
0+3
− 4
4×0+2
= 11,
11 divise bien 3
0+3
− 4
4×0+2
.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
Commençons par remarquer que :
3
(n+1)+3
− 4
4(n+1)+2
= 3
n+3
×3
1
− 4
4n+2
×4
4
= 3
n+3
×3 − 4
4n+2
×256 = 3
n+3
×3 − 4
4n+2
×(253+3) donc
3
(n+1)+3
− 4
4(n+1)+2
= (3
n+3
− 4
4n+2
)×3 − 4
4n+2
×253
Si 11 divise 3
n+3
− 4
4n+2
, alors 11 divise (3
n+3
− 4
4n+2
)×3 − 4
4n+2
×253
comme combinaison linéaire à coefficients entiers de nombres divisibles par 11.
donc 11 divise 3
(n+1)+3
− 4
4(n+1)+2
.
Conclusion : La propriété 11 divise 3
n+3
− 4
4n+2
est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de n =
0. Le principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à partir de 0.
2
22
2%
%%
% 1. Établir, par récurrence que :
a. pour tout entier naturel n, n
3
– n est un multiple de 3.
Initialisation : La propriété 3 divise n
3
– n est vraie pour n = 0 car 0
3
− 0 = 0,
3 divise bien 0
3
− 0.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
Commençons par remarquer que :
(n+1)
3
– (n+1) = n
3
+ 3n
2
+ 3n + 1 – n – 1 = n
3
– n + 3n
2
+ 3n = (n
3
– n) + 3(n
2
+ n)
Si 3 divise n
3
– n, alors 3 divise (n
3
– n) + 3(n
2
+ n) comme somme de nombres
divisibles par 3, donc 3 divise (n+1)
3
– (n+1).
Conclusion : La propriété 3 divise n
3
– n est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de
n = 0. Le principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à
partir de 0.
b. pour tout entier naturel n, n
7
– n est un multiple de 7.
Initialisation : La propriété 7 divise n
7
– n est vraie pour n = 0 car 0
7
− 0 = 0,
7 divise bien 0
7
− 0.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
Commençons par remarquer que :
(n+1)
7
– (n+1) = n
7
+ 7n
6
+ 21n
5
+ 35n
4
+ 35n
3
+ 21n
2
+ 7n + 1 – n – 1
(n+1)
7
– (n+1) = (n
7
– n) + 7(n
6
+ 3n
5
+ 5n
4
+ 5n
3
+ 3n
2
+ n)
Si 7 divise n
7
– n, alors 7 divise (n
7
– n) + 7(n
6
+ 3n
5
+ 5n
4
+ 5n
3
+ 3n
2
+ n) comme
somme de nombres divisibles par 7, donc 7 divise (n+1)
7
– (n+1).
Conclusion : La propriété 7 divise n
7
– n est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de
n = 0. Le principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à
partir de 0.
2. Est-ce que, pour tout entier naturel n, n
4
– n est un multiple de 4 ?
Non puisque, pour n = 2, n
4
– n = 16 – 2 = 14 qui n’est pas divisible par 4.

CORRIGES DES EXERCICES
ARITHMÉTIQUE 4 P.G. 2007/2008
2
22
2^
^^
^ On se propose de démontrer que 2 est irrationnel.
Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que 2
p
q
= avec
p
q fraction irréductible.
a. Montrer que p
2 = 2q2 ; en déduire que p est pair.
Si 2
p
q
= alors
2
2
2
p
q
= d’où
22
2
p
q=. q étant un entier, 2q
2
est divisible par 2 c'est-à-dire
pair donc p
2
est pair et comme un nombre et son carré sont de même parité, p est pair.
b. En déduire alors que q est pair, puis conclure.
Puisque p est pair, il existe un entier k tel que p = 2k d’où
22
(2 ) 2kq=, c'est-à-dire
22
42kq=.
En simplifiant par 2 :
22
2qk=. On en déduit, de la même manière qu’au a. que q est pair.
C’est là que réside l’impossibilité : p et q étant tous les deux pairs, la fraction
p
q serait
simplifiable par 2, ce qui est contraire à l’hypothèse :
p
q fraction irréductible.
L’hypothèse 2
p
q
= avec
p
q fraction irréductible est donc fausse. 2 est irrationnel.
3
33
3$
$$
$ On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. Déterminer q sachant
que q et r ne changent pas lorsqu'on augmente a de 52 et b de 4
0
52 ( 4)
04
abqr
rb
abqr
rb
=+
<
+=+ +
<+
£
£
La dernière condition est forcément vérifiée dès que la seconde l’est.
00 00
52 ( 4) 52 4 52 4 13
abqr abqr abqr abqr
rb rb rb rb
abqrbqrbqqr q q
=+ =+ =+ =+
<⇔< ⇔<⇔<
+=+ + ++=++ = =
££ ££
q est donc égal à 13.
3
33
3%
%%
% Déterminer les entiers a et b dont la différence est 538, et tels que le quotient et le reste de la
division euclidienne de a par b sont respectivement 13 et 22.
538 538 538 581
13 22 538 13 22 516 12 43
022 22 22 22 43
ab ab ab a
ab b b b b
bb b
−= =+ =+ =
=×+⇔+ =+⇔ = ⇔ =
<< <<
£
Les entiers cherchés sont donc 581 et 43.
3
33
3^
^^
^ Montrer que, si l'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division euclidienne par un même
naturel k non nul, le quotient est inchangé et le reste est multiplié par k.
0
abqr
rb
=+
<
£
. En multipliant les deux membres par un entier k strictement positif, il vient :
0
ka kb q kr
kr kb
=×+
<
£
ce qui prouve que dans la division de ka par kb, le quotient est q (il n’a donc pas
changé) et le reste est kr (il a donc été multiplié par k).

CORRIGES DES EXERCICES
ARITHMÉTIQUE 5 P.G. 2007/2008
3
33
3&
&&
& On désigne par a un entier naturel non nul.
Montrer que le reste de la division euclidienne de [a
2
+ (a – 1)
2
]
2
par 4a
2
est (2a – 1)
2
.
2
22 222 22
( 1) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) (2 1)aa a aa a aa a +− − − = +− + − +− − −
()
() ()
222
22 222 2 2
(1) (21) 2 2 422 2 1 4 1aa a a a a a a aa +− −−=× −+=×−=×− donc
()
22
222 2
(1) 4 1 (21)aa aa a +− = ×− + −
Il ne reste plus qu’à remarquer que puisque a
≥ 1, 2a – 1 ≥ 1 ≥ 0 et comme on a 2a – 1 < 2a,
0
≤ 2a – 1 < 2a donc 0 ≤ (2a – 1)
2
< 4a
2
. Ceci prouve que dans la division euclidienne de
2
22
(1)aa +− par
2
4a , le quotient est
()
2
1a − et le reste
2
(2 1)a−.
3
33
3*
**
* On sait que 5n + 7 = 5(n + 1) + 2.
Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par 5 ?
On sait que 0
≤ 2 < 5 donc 2 est bien le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par 5.
Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par n + 1 ?
Malheureusement, si n = 0 ou n = 1 on n’a pas 2 < n + 1. Dans ces deux cas, 2 ne peut pas être le
reste.
3
33
3(
((
( a et b sont deux entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient n’est pas nul.
Montrer que a est supérieur au double du reste.
0
abqr
rb
=+
<
£
Puisque le quotient n’est pas nul, q ≥ 1 donc bq ≥ b et par suite bq + r ≥ b + r et
comme r < b, r + r < b + r c'est-à-dire 2r < b + r d’où bq + r > 2r, c'est-à-dire a > 2r.
4
44
4&
&&
& Soit n un entier naturel.
a. Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de 5
n
par 13.
Pour n = 0 : 5
0
= 1. 5
0
≡ 1 [13] Le reste est 1.
Pour n = 1 : 5
1
= 5. 5
1
≡ 5 [13] Le reste est 5.
Pour n = 2 : 5
2
= 25. 5
2
≡ 12 [13] Le reste est 12.
Pour n = 3 : puisque 5
2
≡ −1 [13], 5
3
≡ −5 [13] 5
3
≡ 8 [13] Le reste est 8.
Pour n = 4 : puisque 5
3
≡ −5 [13], 5
4
≡ −25 [13] 5
4
≡ 1 [13] Le reste est 1.
On retrouve le premier reste obtenu. Montrons que la suite des restes est périodique de période 4.
44
555
nn
n
+
∀∈ = ×N or 5
4
≡ 1 [13] donc 5
n+4
≡ 5
n
[13] ce qui prouve que 5
n+4
et 5
n
ont
le même reste dans la division par 13. La suite des restes est bien périodique de période 4.
Il ne reste plus qu’à exploiter cette périodicité : un entier n s’écrivant ou bien 4q, ou bien
4q + 1 ou bien 4q + 2, ou bien 4q + 3, on a
•
si n = 4q, alors le reste est le même que celui de 5
0
, c'est-à-dire 1.
•
si n = 4q + 1, alors le reste est le même que celui de 5
1
, c'est-à-dire 5.
•
si n = 4q + 2, alors le reste est le même que celui de 5
2
, c'est-à-dire 12.
•
si n = 4q + 3, alors le reste est le même que celui de 5
3
, c'est-à-dire 8.
b. En déduire que 1981
1981
− 5 est divisible par 13.
Commençons par effectuer la division euclidienne de 1981 par 13 : 1981 = 13×152 + 5.
On a donc 1981 ≡ 5 [13] d’où 1981
1981
≡ 5
1981
[13]
Il ne reste plus qu’à utiliser le résultat du
a. en cherchant si 1981 est de la forme 4q, 4q + 1,
4q + 2 ou 4q + 3.
Nous allons donc diviser 1981 par 4 : 1981 = 4×495 + 1.
Le reste de la division de 5
1981
par 13 est donc 5. 5
1981
≡ 5 [13].
Par suite, 1981
1981
≡ 5 [13], d’où 1981
1981
– 5 ≡ 0 [13], c'est-à-dire que 1981
1981
− 5 est
divisible par 13.