Stimulateur cardiaque

Applications des math´ematiques:
Stimulateur cardiaque
Math´ematiques
Appliqu´ees et
G´enie Industriel
R´esum´e Mod´elisation d’un stimulateur cardiaque, appel´e pacemakers en an-
glais, `a l’aide d’´equations diff´erentielles. La simulation du coeur
se fait en deux ´etapes, chacune d’elle n´ecessitant leur propre cir-
cuit ´electrique. Ensemble, ces deux circuits g´en`erent l’impulsion
´electrique qui stimule le coeur.
Domaines du g´enie ´ Electrique, Biom´edical
Notions math´ematiques ´ Equations du premier ordre, ´ Equations lin´eaire `a coefficients
constants
Cours pertinents ´ Equations Diff´erentielles
Auteur(es) M. Laforest, A. Saucier, E. Chan-Tave
Sommaire
1 D´efinition du probl`eme 2
2 Mod´elisation 2
2.1 ´ Etape 1 : La batterie charge le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 ´ Etape 2 : Le condensateur se d´echarge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 R´esolution 4
4 Interpr´etation des r´esultats 4
5 Conclusion 4

Stimulateur cardiaque MAGI
1 D´efinition du probl`eme
Le stimulateur cardiaque envoie une impulsion ´electrique au coeur `a une fr´equence pr´ed´etermin´ee. Le
stimulateur cardiaque est mod´elis´e par un simple circuit RC. Ce stimulateur est form´e de deux circuits
´electriques qui sont, tous les deux, mod´elis´es par des ´equations diff´erentielles du premier ordre. Nous
verrons comment la charge ´electrique dans le stimulateur et le coeur varient en fonction du temps.
Dans le circuit suivant, une horloge contrˆole l’interrupteur. D´ependant de sa position, soit le circuit du
stimulateur ou du coeur sont activ´es. Le circuit est d´ecrit par les valeurs constantes de ces composantes.
Eest le potentiel ´electrique de la batterie
Rest la r´esistance dans le stimulateur cardiaque
Rcoeur est la r´esistance naturelle du coeur
Cest la capacitance
On veut calculer Q=Q(t), la charge dans le capaciteur en fonction du temps.
2 Mod´elisation
Le circuit global ´evolue p´eriodiquement en deux ´etapes.
2

Stimulateur cardiaque MAGI
2.1 ´ Etape 1 : La batterie charge le condensateur
Le circuit est d´ecrit par
RdQ
dt +1 CQ=E,
Q(0) =0
La solution est
Q(t) = EC1−exp 
−t
RC .
2.2 ´ Etape 2 : Le condensateur se d´echarge
Un syst`eme ´electronique commute l’interrupteur pour fermer le circuit qui relie le coeur `a la branche RC
du circuit. Le condensateur se d´echarge alors dans le coeur. On suppose qu’au moment o`u l’interrupteur
change le circuit, le capaciteur est `a 99% de sa capacit´e maximale EC.
Le circuit est d´ecrit par
(R+Rcoeur )dQ
dt +1 CQ=0,
Q(0) =0.99EC.
3

Stimulateur cardiaque MAGI
3 R´esolution
La solution est
Q(t) = 0.99EC exp“−t
(R+Rcoeur )”.
4 Interpr´etation des r´esultats
Le condensateur se charge et se d´echarge `a un taux qui d´epend de la constante de temps τ= 1/(RC).
L’´evolution p´eriodique du circuit global est donc :
5 Conclusion
Des ´equations diff´erentielles simples du premier ordre peuvent ˆetre utiles et mener `a des ph´enom`enes
assez complexes quand elles sont utilis´es en succession.
4