Symétries et Invariances

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Symétries et Invariances
L’analyse des symétries et invariances permet de déterminer la
direction et les dépendances d’un champ électrique ou magnétique
ou du potentiel-vecteur. On utilise cette analyse pour simplifier les
calculs. Par exemple, pour pouvoir appliquer méthodiquement le
théorème de Gauss ou le théorème d’Ampère, il faut savoir
déterminer d’abord le sens du champ électrique au niveau de la
surface de Gauss en ce qui concerne le théorème de Gauss ou bien
le sens du champ magnétique au niveau du contour d’Ampère en ce
qui concerne le théorème d’Ampère. La méthode la plus facile pour
déterminer le sens d’un champ est la Méthode des Symétries et
Invariances. Cette méthode permet de déterminer non seulement le
sens du champ en question mais permet aussi de savoir les
coordonnées spatiales dont il dépend (les dépendances).
Les Symétries et Invariances permettent de simplifier le calcul
des champs électriques et magnétiques dans plusieurs cas de
configurations telles les dipôles électriques et magnétiques.
Pour tous les problèmes de l’Électromagnétisme, la première
chose à faire est l’étude des symétries des sources : les causes. Les
sources du champ E (l’effet) sont les charges. Les sources de B et A
sont les courants. D’après le principe de Curie, les invariances des
sources (les causes) se retrouvent dans les champs (les effets). Le
champ électrique E est un vrai vecteur et le champ magnétique B est
un pseudo-vecteur ou ou vecteur axial.

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Etude des symétries
Distributions de charges électriques
Plan de symétrie
 Plan de symétrie : () est un plan de symétrie d’une distribution de
charge si, pour tout point P de cette distribution, son symétrie P
porte la même charge que P (et appartient à la distribution).
 Le champ électrique E est un vrai vecteur.
 Le champ électrique est toujours contenu dans tout plan de
symétrie.
Plan d’anti-symétrie
 Plan d’antisymétrie : () est un plan d’anti-symétrie d’une
distribution de charge si, pour tout point P de cette distribution,
son symétrique P porte une charge de signe contraire à celle de P.
 Le champ électrique E est un vrai vecteur.
 Le champ électrique est toujours perpendiculaire à tout plan d’anti-
symétrie

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Distributions de courants électriques
Plan de symétrie
 Plan de symétrie : () est un plan de symétrie d’une distribution
de courant si, pour tout point P de cette distribution, son
symétrie P est parcouru par le même courant que P (et
appartient à la distribution).
 Le champ magnétique est un pseudo-vecteur ou vecteur axial.
 Le champ magnétique B est orthogonal à tout plan de symétrie.
Plan d’anti-symétrie
 Plan d’antisymétrie : () est un plan d’anti-symétrie d’une
distribution de courant si, pour tout point P de cette distribution,
son symétrique P est parcouru par un courant de sens contraire
à celui de P.
 Le champ magnétique est un pseudo-vecteur.
 Le champ magnétique est toujours contenu dans tout plan d’anti-
symétrie.

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Principe de Curie
Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de
symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits.
Méthodes et conseils pratiques
La première chose à faire face à un problème d’Électromagnétisme, est
de chercher les symétries de la distribution de charges ou de courants et
de les exploiter à fond en appliquant le principe de Curie .
Les symétries permettent tout d’abord de faire le choix du système de
coordonnées.
 Si la distribution est symétrique par rapport à un point (un
centre), on se placera dans le système de coordonnées sphériques.
 Si la distribution est symétrique par rapport à une droite, on se
placera dans le système de coordonnées cylindriques.
 Si la distribution est symétrique par rapport à un plan, on se
placera dans le système de coordonnées cartésiennes.

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Etude des invariances
Si l’étude des symétries d’une distribution permet d’éliminer
carrément des composantes vectorielles de l’expression analytique du
vecteur champ électrique ou magnétique, l’étude des invariances
compléte le travail en éliminant les coordonnées dont ne dépendent pas
les composantes vectorielles restantes. Par exemple, si la translation
d’une distribution par rapport à une coordonnée cartésienne laisse la
distribution invariante, alors le champ créé par cette distribution est lui-
aussi invariant par rapport à cette même coordonnée. Même chose pour
la rotation. La coordonnée ou les coordonnées dont ne dépendent pas les
composantes vectorielles du vecteur champ lors d’une translation ou
d’une rotation ne figurent pas dans l’expression implicite de la
composante vectorielle du vecteur champ. Même si elles apparaissent
dans la forme explicite du champ, ces coordonnées sont considérées
comme étant des constantes.
L’étude des invariances permettent de bien simplifier l’expression
analytique du vecteur champ, des équations locales, etc. Ainsi, si les
sources sont invaraintes par translation suivant un axe que l’on notera
Ox , alors le potentiel V et le champ E seront indépendants de la
coordonnée x. Donc V et E sont des invariances de cette distribution. Au